Kako novac s vremenom raste

Na kraju ćete znati razlikovati jednostavne od složenih kamata i izračunati stanje uz složeno ukamaćivanje.

Dvije štediše odlože po 1.000 € (ili 1.000 $) uz 5 % godišnje i ostave novac 30 godina. Samo primjer.

• Štediša A dobiva kamate samo na početnih 1.000, pa nakon 30 godina ima 2.500.
• Štediša B dobiva kamate na 1.000 i na već pripisane kamate.

Ista stopa, isti početak, isto vrijeme. Jedina je razlika donose li kamate nove kamate. Ta razlika ima ime: složene kamate.

Prije nego što nastavite, u sljedećem pitanju odlučite se za procjenu: koliko štediša B ima nakon 30 godina?

Odgovor: štediša B ima oko 4.322, a A 2.500. Većina ljudi procijeni mnogo manje. Da biste vidjeli zašto, počnite od ravne crte.

Uz jednostavne kamate svake godine dobivate isti iznos, uvijek obračunat na početni iznos.

1.000 uz 5 % donosi 50 godišnje, svake godine:

• nakon 1 godine: 1.050
• nakon 10 godina: 1.500
• nakon 30 godina: 2.500

Na grafikonu je to ravna crta: rast se zbraja ujednačenim tempom. Tako većina nas intuitivno zamišlja rast. Zapamtite tu crtu: sljedeći je korak savija.

Uz složene kamate kamate svake godine pripisuju se stanju, a kamate za sljedeću godinu obračunavaju se na novo, veće stanje.

• 1. godina: 1.000 × 5 % = 50 → 1.050
• 2. godina: 1.050 × 5 % = 52,50 → 1.102,50
• 3. godina: 1.102,50 × 5 % = 55,13 → 1.157,63

Dodatak je svake godine u početku malen: 2,50, zatim 5,13. Ali stalno raste, jer kamate donose kamate. Kratka formula glasi:

iznos × (1 + stopa) na potenciju broja godina, dakle 1.000 × 1,05 na potenciju 30 ≈ 4.322.

Naš mozak razmišlja u ravnim crtama. Istraživači sklonost podcjenjivanju složenog ukamaćivanja zovu pristranost eksponencijalnog rasta.

Pogledajte razliku između jednostavnih i složenih kamata uz 5 % (samo primjer):

• nakon 10 godina: 1.500 prema 1.629 (razlika 129)
• nakon 20 godina: 2.000 prema 2.653 (razlika 653)
• nakon 30 godina: 2.500 prema 4.322 (razlika 1.822)

Prvih godina dvije crte izgledaju gotovo jednako, zato se složeno ukamaćivanje u početku ne čini dojmljivim. Zatim se krivulja odvoji. Vrijeme obavlja većinu posla i zato mu se sljedeća poglavlja stalno vraćaju.

Složeno ukamaćivanje nije samo dobra vijest. Ista matematika djeluje protiv vas:

• Dug: neplaćene kamate na kartici ili kreditu pribrajaju se onome što dugujete, a zatim se i na njih obračunavaju kamate. Stanje od 1.000 uz 20 % godišnje postaje 1.200, zatim 1.440 ako se ništa ne plati.
• Naknade: godišnja naknada koja se uzima sa stanja također se slaže: odnosi novac koji bi rastao (Realni prinos: nakon inflacije i naknada).
• Inflacija: i rast cijena se slaže te iz godine u godinu smanjuje ono što novac kupuje.
• Gubici: nakon pada od 50 % stanju treba rast od 100 % samo da se vrati na početak.

A stope u ovim primjerima su izmišljene. Stvarne kamatne stope na štednju se mijenjaju i ništa ne jamči istu stopu 30 godina.

• Jednostavne kamate rastu u ravnoj crti; složene kamate donose kamate na kamate.
• Razlika je u početku mala, a kasnije velika: vrijeme obavlja posao.
• Složeno ukamaćivanje djeluje i protiv vas: dug, naknade, inflacija i gubici.

Sljedeće: kako složeno ukamaćivanje procijeniti napamet? Pravilo 72