Jak pieniądze rosną z czasem

Pod koniec będziesz umieć odróżnić procent prosty od składanego i obliczyć saldo przy procencie składanym.

Dwie osoby odkładają po 1 000 € (lub 1 000 $) przy 5 % rocznie i zostawiają pieniądze na 30 lat. Tylko przykład.

• Oszczędzający A dostaje odsetki tylko od początkowych 1 000, więc po 30 latach ma 2 500.
• Oszczędzający B dostaje odsetki od 1 000 i od już dopisanych odsetek.

Ta sama stopa, ten sam start, ten sam czas. Jedyna różnica polega na tym, czy odsetki zarabiają kolejne odsetki. Ta różnica ma swoją nazwę: procent składany.

Zanim przeczytasz dalej, wybierz swoją odpowiedź w następnym pytaniu: ile ma oszczędzający B po 30 latach?

Odpowiedź: oszczędzający B ma około 4 322, a A 2 500. Większość osób zgaduje dużo mniej. Żeby zobaczyć dlaczego, zacznij od prostej linii.

Przy procencie prostym co roku dostajesz tę samą kwotę, zawsze liczoną od początkowej sumy.

1 000 przy 5 % daje 50 rocznie, każdego roku:

• po 1 roku: 1 050
• po 10 latach: 1 500
• po 30 latach: 2 500

Na wykresie to prosta linia: wzrost przybywa w równym tempie. Tak większość z nas intuicyjnie wyobraża sobie wzrost. Zapamiętaj tę linię: następny krok ją wygnie.

Przy procencie składanym odsetki za każdy rok są dopisywane do salda, a odsetki za kolejny rok liczy się od nowego, większego salda.

• Rok 1: 1 000 × 5 % = 50 → 1 050
• Rok 2: 1 050 × 5 % = 52,50 → 1 102,50
• Rok 3: 1 102,50 × 5 % = 55,13 → 1 157,63

Dodatek co roku jest na początku mały: 2,50, potem 5,13. Ale wciąż rośnie, bo odsetki zarabiają odsetki. Krótki wzór to:

kwota × (1 + stopa) do potęgi liczby lat, czyli 1 000 × 1,05 do potęgi 30 ≈ 4 322.

Nasz mózg myśli prostymi liniami. Badacze nazywają skłonność do niedoceniania procentu składanego błędem wzrostu wykładniczego.

Spójrz na różnicę między procentem prostym a składanym przy 5 % (tylko przykład):

• po 10 latach: 1 500 wobec 1 629 (różnica 129)
• po 20 latach: 2 000 wobec 2 653 (różnica 653)
• po 30 latach: 2 500 wobec 4 322 (różnica 1 822)

Przez pierwsze lata obie linie wyglądają prawie tak samo, dlatego procent składany na początku nie robi wrażenia. Potem krzywa odskakuje. Większość pracy wykonuje czas i dlatego kolejne rozdziały ciągle do niego wracają.

Procent składany to nie tylko dobra wiadomość. Ta sama matematyka działa przeciwko tobie:

• Dług: niespłacone odsetki na karcie lub kredycie są doliczane do tego, co jesteś winien, a potem same są oprocentowane. Saldo 1 000 przy 20 % rocznie zamienia się w 1 200, a potem w 1 440, jeśli nic nie spłacasz.
• Opłaty: roczna opłata pobierana z salda też się kumuluje: zabiera pieniądze, które by rosły (Realna stopa zwrotu: po inflacji i opłatach).
• Inflacja: rosnące ceny też się kumulują i rok po roku zmniejszają to, co można kupić za pieniądze.
• Straty: po spadku o 50 % saldo potrzebuje wzrostu o 100 %, żeby tylko wrócić do punktu wyjścia.

A stopy w tych przykładach są zmyślone. Prawdziwe oprocentowanie oszczędności się zmienia i nic nie gwarantuje jednej stopy przez 30 lat.

• Procent prosty rośnie po prostej linii; procent składany daje odsetki od odsetek.
• Różnica jest na początku mała, a później duża: pracę wykonuje czas.
• Procent składany działa też przeciwko tobie: długi, opłaty, inflacja i straty.

Dalej: jak oszacować procent składany w pamięci? Reguła 72